Question

已知函数f(x)的定义域是（0，正无穷），当x＞1时，f（x)＞0，且f（x*y)=f（x)+f（y)

（1）求f(1)的值
（2）证明f(x)在定义域上是增函数
（3)如果f（3）=1，求满足不等式f(x)-f（1/x-2)≥2的x的取值范围

Answer 1

答：
f(x)定义域满足x>0，x>1时，f(x)。0
f(xy)=f(x)+f(y)
1）
令x=y=1有：f(1)=f(1)+f(1)
解得：f(1)=0
2)
设x>y>0，x/y>1，f(x/y)>0
f(x)=f(y*x/y)=f(y)+f(x/y)>f(y)
所以：f(x)是单调递增函数
3）
f(3)=1
f(x)-f(1/x-2)>=2=f(3)+f(3)=f(9)
f(x)>f(1/x-2)+f(9)=f(9/x-18)
所以：
x>9/x-18>0
所以：
x^2>9-18x>0
所以：x^2+18x-9>0并且x<1/2
(x+9)^2>90并且x<1/2
x>-9+3√10并且x<1/2
所以：3√10-9<x<1/2