Question

已知正整数a ,b满足a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8,则a²-b²=

讲方法

Answer 1

a³b+ab³-2a²b+2ab²=7ab-8
=>ab(a^2+b^2-2a+2b-7)=-8
=>ab[(a-1)^2+(b-1)^2-9]=-8
由于a，b都是正整数，所以(a-1)^2+(b-1)^2-9是整数，于是a，b只可能是1,2,4,8 这四个数中的一个。且要保证(a-1)^2+(b-1)^2-9小于0
若a=8，则(a-1)^2+(b-1)^2-9=（b-1）^2+40大于0 ，所以a不是8，同理b也不是8
若a=4，同样地(a-1)^2+(b-1)^2-9=（b-1）^2 大于等于0，所以a不是4，b也不是4
若a=2，原式变为b[（b-1）^2-8]=-4 此时b=1或2都不满足，所以a不等于2

若a=1，原式变为b[（b-1）^2-9]=-8 同样b=1或2都不满足，所以此题不可能有解，要么a，b是正整数的条件不对，要么后面的等式不对

Answer 2

首先将a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为ab（a-b-1）2+2（ab-2）2=0．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到a-b=1、ab=2，进而解出a、b的值，代入a2-b2求得结果．∵a3b+ab3-2a2b+2ab2=7ab-8，?ab（a2+b2）-2ab（a-b）=7ab-8，?ab（a2-2ab+b2）-2ab（a-b）+2a2b2-7ab+8=0，?ab（a-b）2-2ab（a-b）+2a2b2-7ab+8=0，?ab[（a-b）2-2（a-b）+1]+2（a2b2-4ab+4）=0，?ab（a-b-1）2+2（ab-2）2=0，∵a、b均为正数，∴ab＞0，∴a-b-1=0，ab-2=0，即a-b=1，ab=2，解方程ab1ab2，解得a=2、b=1，a=-1、b=-2（不合题意，舍去），∴a2-b2=4-1=3．