Question

一道一元二次方程题 已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．

一道一元二次方程题 已知x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根．如果x1/x2 + x2/x1 -2的值为整数，则 实数k的整数值为____

Answer 1

解：

(-4k)² -16k(k+1) ≥ 0
16k²-16k²-16k
由韦达定律，x1*x2 = (k+1)/(4k)，x1+x2 = 4k /4k =1
由此，有
x1/x2 + x2/x1 -2
= (x1² +x2²)(x1x2) -2
= (x1² +x2²+2x1x2 -2x1x2)(x1x2) -2
= [(x1+x2)²-2x1x2] /(x1x2) -2
= (x1+x2)² /(x1x2) - 2 -2
= 1/ [(k+1)/(4k)] -4
= 4k /(k+1) -4
= (4k-4k-4) /(k+1)
= -4/(k+1)
这个值为整数， (k+1) 只能是 ±4，±2，±1
所以 k=3，1，0，-2，-3，-5
而原方程有两个实数根，所以 (-4k)² - 4×4k(k+1) ≥0
可解得 k≤0
当k =0 时，原方程不是二元一次方程，所以 k<0
由此，可得 k = -2，-3，-5

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