Question

设函数f（x）=e*—ax—2 （1）求f（x）的单调区间 （2）若a=1，k为整数，且当x大于0

设函数f（x）=e*—ax—2
（1）求f（x）的单调区间
（2）若a=1，k为整数，且当x大于0时，（x-k）f（x）+x+1大于0，求k的最大值

（*为x）

Answer 1

a=1/2，f(x)=x(e^x-1)-x^2/2，f'(x)=e^x-1+xe^x-x=(x+1)(e^x-1)
当x<-1时，x+1<0且e^x-1<0，f'(x)>0，f(x)递增。
当-1<x0时，x+1>0且e^x-1<0，f'(x)<0，f(x)递减。
当x>1时，x+1>0且e^x-1>0，f'(x)>0，f(x)递增。
所以，f(x)的单调递增区间是(-无穷,-1)和(0,+无穷)，单调递减区间是(-1,0)

f(x)=x(e^x-1)-ax^2
f’(x)= e^x(x+1)-2ax-1
而f(0)=0 要使 f(x)>=在x>=0上恒成立
则 f’(x)>=0要恒成立
即 e^x(x+1)-2ax-1>=0
令g(x)= e^x(x+1)-2ax-1，即g(x)>=0
而g(0)=0，所以g’(x)>=0要恒成立
g’(x)= e^x*x+ e^x-2a>=0
∴a<= e^x(x+1)/2
令h(x)= e^x(x+1)/2
则h’(x)=(e^x*x+e^x)/2，
令h'(x)=0
得x=-1，可知x=-1为h(x)极小值点
而x>=0，
则h(x)最小值为h(0)=1/2
∴a<=1/2

Answer 2

1、
f(x)=ax²+bx+c>x
ax²+(b-1)x+c>0解集是1<x<2
即1和2是对应方程的根
所以1+2=-(b-1)/a
1*2=c/a
不等式化为a(x-1)(x-2)>0
解集1<x<2
所以a<0
且b=-3a+1,c=2a

ax²+bx+c=x²
(a-1)x²+bx+c=0
判别式为0
所以b²-4(a-1)c=0
所以9a²-6a+1-8a²+8a=0
a²+2a+1=0
a=-1
b=-3a+1=4
c=2a=-2
f(x)=-x²+4x-2

2、
b=-3a+1,c=2a
f(x)=ax²-(3a-1)x+2a
=a[x²-(3a-1)x/a+(3a-1)²/4a²]-(3a-1)²/4a+2a
=a[x-(3a-1)/2a]²-(3a-1)²/4a+2a
最大值=-(3a-1)²/4a+2a>1
(-9a²+6a-1)/4a+2a-1>0
(-9a²+6a-1+8a²-4a)/4a>0
(-a²+2a-1)/4a>0
-(a-1)²/4a>0
所以a<0