Question

所有矩阵都有秩吗？

有的矩阵所有子式都不为0，那按理说他没有秩吧。比如
2 3
1 -1
-1 2
这个2×3矩阵没有3阶子式，最多2阶。可所有2阶子式都不为0，是不是没有秩呀？多谢

Answer 1

所有矩阵都有秩。

在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。

扩展资料：

一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度。矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于f的像的维度。

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程（未知数）的数目，则方程有唯一解；如果秩小于未知数个数，则有无穷多个解。

Answer 2

当然所有的矩阵都有秩。
所谓矩阵的秩序，就是指这个矩阵的最高阶非零子式的阶数。如果所有的子式都为0，即矩阵为0矩阵，则规定其秩为0.
你给出的这个矩阵显然有一个二阶的非零子式，没有3阶子式，故其秩为2.

追问

你好，可是矩阵的秩如果是n的话，不是应该有n+1阶子式为0才对吗？定义是这么说的啊。现在没有3阶、为什么能是2呢？

你好，可是矩阵的秩如果是n的话，不是应该有n+1阶子式为0才对吗？定义是这么说的啊。现在没有3阶、为什么能是2呢？

追答

定义应该是这么说的：
设A 是一个m*n矩阵，若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，（如果有的话），则A的秩为r。特别规定零矩阵的秩为零。
你给出的这个矩阵显然有一个二阶的非零子式，没有3阶子式，故其秩为2.

Answer 3

先化为行阶梯型矩阵，就可以直接看出这个矩阵的秩是2了，还是这个是3×2矩阵，不是2×3矩阵