Question

如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形△AEF

如图,在正方形ABCD中,边长为2的等边三角形△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上
证明①CE=CF ②∠AEB=75° ③BE+DF=EF ④S△EFC=1
①②④是对的
③是错的
求过程证明

Answer 1

（1）证明：因为四边形ABCD是正方形
所以角BAD=角B=角D=角C=90度
AB=AD=DC=BC
所以三角形ABE和三角形ADF是直角三角形
因为三角形AEF是等边三角形
所以角EAF=角AEF=60度
AE=AF=EF=2
所以直角三角形ABE和直角三角形ADF全等（HL)
所以BE=DF
因为BC=BE+CE
DC=CF+DF
所以CE=CF
所以这个结论是正确的
(2)证明：因为三角形ABE和三角形ADF全等（已证——
所以角BAE=角DAF
因为 角BAE+角DAF+角EAF=角BAD=90（已证）
所以角BAE=角DAF=15度
因为角BAE+角B+角AEB=180度
角B=90度（已证）
所以角AEB=75度
所以这个结论是正确的
（3）证明：延长CE，使BM=BE，连接AM
因为角ABC=角B=90度
角ABC+角ABM=180度
所以角ABM=角ABC=90度
因为AB=AB
所以三角形ABM和三角形ABE全等（SAS)
所以角AMB=角AEB
角BAE=角BAM
AM=AE
因为角BAE=15度
角MAE=角BAE+角BAM
所以角MAE=30度
因为角AEB=75度
所以角AEB>角MAE
所以EM>ME
因为AE=EF
所以EM<EF
因为EM=BE+ME
BE=DF（已证）
所以BE+DF<EF
所以BE+DF=EF这个结论是错的
（4）证明:：因为CE=CF（已证）
所以三角形CEF是等腰三角形
因为角C=90度（已证）
所以三角形CEF是等腰直角三角形
所以EF^2=CE^2+CF^2
S三角形CEF=1/2CE*CF
因为EF=2
所以CE=CF=根号2
所以S三角形CEF=1
所以这个结论是正确的

Answer 2