Question

高一数学 ！！！

Answer 1

1) 令 x = y = 1, 则 f(1) = f(1)^2

注意到 f(1) ≠ 0 (否则，f(x) = f(1·x) = f(1) f(x) = 0, 与 x>1 时, 0 < f(x) < 1 矛盾),

故 f(1) = 1

2) a. 首先证明 f 在 (0,∞) 上恒为正

事实上, 对 [1,∞), 断言已成立；现取 0 < x < 1, 这样1/x > 1, 故 f(1/x) > 0

注意到 1 = f(1) = f(x·(1/x)) = f(x) f(1/x), 故 f(x) = 1/(f(1/x)) > 0

b. 然后证明 f 在 (0,∞) 上单调减

对 0 < x < y, f(y) = f(x·(y/x)) = f(x) f(y/x)

注意到 y/x > 1, 由题中假设有 0 < f(y/x) < 1；又注意到 x > 0, 由 2) a 中结论有 f(x) > 0

故 f(x) f(y/x) < f(x), 即 f(y) < f(x)

这样 f 在 (0,∞) 上单调减

3) f(4) = 1/2 推出 f(1/4) = 2, 进而有 f(1/16) = f(1/4)^2 = 4

故原不等式等价于 f(x) ≥ f(1/16) = f(-1/16)

由 2) 中结论, f 在 (0,∞) 上单调减, 而 f 又是偶函数,

故上不等式等价于 0 < x ≤ 1/16 或 -1/16 ≤ x < 0

即原不等式的解集为 [-1/16, 0) ∪ (0, 1/16 ]

4) 由 2) a 和 f 是偶函数即得结论

Answer 2

问老师不行吗