Question

用函数极限的定义证明当x趋近于1时(x^3-1)/(x^2-1)=3/2

Answer 1

证明：对任意ε>0，首先限定│x-1│<1，即0<x<2，解不等式

│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│=│(x^2+x+1)/(x+1)-3/2│=│(2x+1)(x-1)/(2(x+1))│<5│x-1│/2<ε
得│x-1│<2ε/5，则取δ≤min{1,2ε/5}。
于是，对任意ε>0，总存在正数δ≤min{1,2ε/5}，当0<│x-1│<δ时，有│(x^3-1)/(x^2-1)-3/2│<ε
即lim(x->1)[(x^3-1)/(x^2-1)]=3/2。