Question

高数第一题

Answer 1

(1)考虑函数t(x)=det{A(x)}, 其中矩阵函数A(x)为如下：第一行为(f(a), g(a), h(a)), 第二行为(f(b), g(b), h(b)), 第三行为(f(x), g(x), h(x)).
显然，t(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且t(a)=t(b)=0, 故根据洛尔定理可知，存在(a,b)内的一点y使得t'(y)=0. 此即为所求的表达式。

(2)在(1)的结果中令h(x)=1，且按第三行展开，可得柯西中值定理。
(3)在(1)的结果中令h(x)=1, g(x)=x，且按第三行展开，可得拉格朗日中值定理。