Question

一道初二数学题，相似三角形部分的。

若(x+y)/(a-b)=(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a).求x的平方+y的平方-z的平方+2xy的值。

Answer 1

解：令（x+y)/(a-b)=(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a)=k
则 x+y=k(a-b)
y+z=k(b-c)
z+x=k(c-a)
上面3个式子相加，得：
2（x+y+z）=k(a+b+c-a-b-c)=0
所以 x+y+z=0
x的平方+y的平方-z的平方+2xy
=x的平方+y的平方+2xy-z的平方
=(x+y)的平方-z的平方
=（x+y+z）(x+y-z)
=0

Answer 2

令(x+y)/(a-b)=(y+z)/(b-c)=(z+x)/(c-a)=k
则x+y=k(a-b)
y+z=k(b-c)
z+x=k(c-a)
相加
2(x+y+z)=k(a-b+b-c+c-a)
2(x+y+z)=k*0=0
x+y+z=0
而x的平方+y的平方-z的平方+2xy=（x+y+z）（x+y-z），所以为0