Question

设z是虚数， ω=z+ 1 z ，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设 u= 1-

设z是虚数， ω=z+ 1 z ，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设 u= 1-z 1+z ，求证：u为纯虚数．

Answer 1

设z=x+yi（x，y∈R，y≠0） （1） ω=z+ 1 z =(x+ x x 2 + y 2 )+(y- y x 2 + y 2 )i ∵-1＜ω＜2，∴ y- y x 2 + y 2 =0 ， 又∵y≠0，∴x 2 +y 2 =1即|z|=1 ∵ -1＜x+ x x 2 + y 2 ＜2?-1＜2x＜2 ， ∴ - 1 2 ＜x＜1 即z的实部的取值范围是 (- 1 2 ，1) （2） u= 1-z 1+z = (1-x-yi)(1+x-yi) (1+x) 2 + y 2 = (1- x 2 - y 2 )-2yi (1+x) 2 + y 2 ∵x 2 +y 2 =1，∴ u= -2y (1+x) 2 + y 2 i 又∵y≠0， ∴u是纯虚数．