Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a 2 +b 2 -c 2 ）=3ab；（1）求 sin 2 A+B

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2（a 2 +b 2 -c 2 ）=3ab；（1）求 sin 2 A+B 2 ；（2）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（1）∵a 2 +b 2 -c 2 = 3 2 ab， ∴cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = 3 4 ， ∵A+B=π-C， ∴ sin 2 A+B 2 = 1-cos(A+B) 2 = 1+cosC 2 = 7 8 ； （2）∵a 2 +b 2 -c 2 = 3 2 ab，且c=2， ∴a 2 +b 2 -4= 3 2 ab， 又a 2 +b 2 ≥2ab， ∴ 3 2 ab≥2ab-4，∴ab≤8， ∵cosC= 3 4 ，∴sinC= 1- cos 2 C = 1- ( 3 4 ) 2 = 7 4 ， ∴S △ABC = 1 2 absinC≤ 7 ，当且仅当a=b=2 2 时，△ABC面积取最大值，最大值为 7 ．