Question

在数列{a n }中,已知a 1 =1,a 2 =3,a n+2 = 3a n+1 - 2a n .(1)证明数列{ a n+1 - a n }是等比数列,并求

在数列{a n }中,已知a 1 =1,a 2 =3,a n+2 = 3a n+1 - 2a n .(1)证明数列{ a n+1 - a n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设b n = ,{b n }的前n项和为S n ,求证

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Answer 1

⑴a n =a 1 +(a 2 -a 1 )+ (a 3 -a 2 )+…+(a n - a n-1 )=1+2+2 2 +…+2 n-1 = =2 n -1; ⑵b n = =log 2 2 n =n,S n = , , 所以 =2 <2.

本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第二小题借用（1）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴 （1）由a n+2 = 3a n+1 - 2a n 得a n+2 - a n+1 = 2(a n+1 - a n ),a 2 -a 1 =2, 所以,{ a n+1 - a n }是首项为2,公比为2的等比数列,从而得到结论。 (2)因为b n =n,那么结合已知关系式得到裂项求和，从而求解得到结论。