Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线y= x 2 的焦点，（Ⅰ）求

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线y= x 2 的焦点，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 ，求证：λ 1 +λ 2 为定值。

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Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 ， 因为抛物线 的焦点坐标是（0，1）， 所以由题意知b=1， 又有 ， ∴ ， ∴椭圆C的方程为 。 （Ⅱ）设A、B、M点的坐标分别为 ， 易知右焦点F的坐标为（2，0）， ， ∴ ， 将A点坐标代入到椭圆方程中，得 ， 去分母整理得 ， 同理，由 ， ∴λ 1 ，λ 2 是方程 的两个根， ∴ 。