Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝ ，M，N分别为PB，PD的中点。 （Ⅰ）证明：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值





Answer 1

解：（Ⅰ）如图连接BD ∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在 PBD中，MN∥BD 又MN 平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； （Ⅱ）如图建系：A（0，0，0），P（0，0， ），M（ ， ，0），N（ ，0，0），C（ ，3，0） 设Q（x，y，z）， 则 ∵ ， ∴ 由 ，得： 即： 对于平面AMN：设其法向量为 ∵ 则 ．   ∴ 同理对于平面AMN得其法向量为 记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为 ， 则 ∴所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为 。