Question

如图1，已知△ABC中，AB=AC=6，∠A=90°，D为直线BC上的点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交AC、AB于E、F．（1

如图1，已知△ABC中，AB=AC=6，∠A=90°，D为直线BC上的点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交AC、AB于E、F．（1）若D在线段BC上，请将图中所有的等腰直角三角形写出来：______（2）若D是线段BC上的一个动点，设△BDF的面积为S1，△CDE的面积为S2，点D在线段BC上运动过程中，能否使S1+S2=10？若能，请求出BD的长；若不能，请说明理由．（3）当点D在线段BC的延长线上（如图2），其它条件不变，试猜想线段DE、DF之间的数量关系，请直接写出等式（不需证明）．

Answer 1

（1）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴∠AED=∠AFD=90°，
又∵AB=AC，∠A=90°，
∴等腰直角三角形有：△ABC，△BDF，△CDE；

（2）设BF=x，则AF=AB-BF=6-x，
所以，DE=6-x，
则

1

2

x²+

1

2

（6-x）²=10，
整理得，x²-6x+8=0，
解得，x₁=2，x₂=4，
此时，BD=

2

BF=2

2

或BD=

2

BF=4

2

；

（3）DF-DE=6．理由如下：
∵四边形AEDF是矩形，
∴AE=DF，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE，
∴DF-DE=AC=6．