Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且A

已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交AC于点O，设EC=x．（1）求证：AF=DM；（2）当EM⊥AC时，用含x的代数式表达AD的长；（3）在（2）题条件下，若以MO为半径的⊙M与以FD为半径的⊙F相切，求x的值．

Answer 1

（1）证明：∵BC∥AD，
∴

EC

AF

＝

CG

AG

，

EC

DM

＝

CH

DH

，（2分）
∵GH∥AD，

CG

AG

＝

CH

DH

，（1分）
∴

EC

AF

＝

EC

DM

，
∴AF=DM．（1分）

（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴cos∠ACB＝

BC

AC

＝

CO

EC

，（1分）
∵EC=x，
∴

6

10

＝

CO

x

，
∴CO＝

3

5

x，（1分）
∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴

EC

AM

＝

CO

AO

，（1分）
∴

x

AD+2x

＝

3 5 x

10? 3 5 x

，
∴AD＝

50?9x

3

．（1分）

（3）解：∵EM⊥AC，设AD=a，
∴FD=a-2x，MO＝

4

5

(a+2x)，（1分）
FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
当⊙F与⊙M相外切时，FD+MO=FM；
a?2x+

4

5

(a+2x)＝a，
解得x＝

100

21

，（1分）
∵AD＞BC，即a＞6，
由x＝

100

21

，得a＝

50

21

＜6，与已知不符，
∴x＝

100

21

（舍）；（1分）
当⊙F与⊙M相内切时，|FD-MO|=FM，
①a?2x?

4

5

(a+2x)＝a，无解；（1分）
②

4

5

(a+2x)?(a?2x)＝a，
解，得x＝

25

9

，a＝

25

3

，
∵2x＜a，a＞6，
∴x＝

25

9

．（2分）
综上所述，满足条件的x的值为