Question

设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx=3x12+ax22+3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3其中-2是二次型矩阵A的一个特征值．（Ⅰ

设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx=3x12+ax22+3x32-4x1x2-8x1x3-4x2x3其中-2是二次型矩阵A的一个特征值．（Ⅰ）试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用正交变换；（Ⅱ）求f在条件x12+x22+x32=1下的最小值，并求最小值点（x1，x2，x3）；（Ⅲ）如果A*+kE是正定矩阵，求k的取值．

Answer 1

（Ⅰ） 二次型f的矩阵A=

3 ?2 ?4 ?2 a ?2 ?4 ?2 3

，
由λ=-2是A的特征值，有

.

?2E?A

.

＝

.

?5 2 4 2 ?2?a 2 4 2 ?5

.

=-9（a-6）=0
得到a=6．
由矩阵A的特征多项式

.

λE?A

.

＝

.

λ?3 2 4 2 λ?a 2 4 2 λ?3

.

＝(λ?7)2(λ+2)
得到矩阵A的特征值是λ₁=λ₂=7，λ₃=-2．
对λ=7，解齐次方程组（7E-A）x=0得基础解系α1＝(1，?2，0)T，