Question

如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°，现在圆弧的右侧边缘M处放

如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°，现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，则：（1）球由A至O的过程中所需时间t为多少？在此过程中能量如何转化？（定性说明）（2）若在圆弧的最低点O的正上方h处由静止释放小球B，让其自由下落，同时A球从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是多少？

Answer 1

（1）由单摆周期公式知球A的周期为：T=2π

R g

，则有：t_AO=

1

4

T=

π

2

R g

在由A→O的过程中球A的重力势能转化为动能．
（2）欲使A、B相遇，则两球运动的时间相同，且必须同时到达O点，故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的时间可以是（

1

4

+n）T或（

3

4

+n）T（n=0，1，2，3，…）
所以A球运动的时间必为

1

4

T的奇数倍，即：
t=

2h g

=

π

2

R g

（2n+1）
所以有h=

(2n+1)2π2

8

R（n=0，1，2，3，…）
答：（1）球由A至O的过程中所需时间t为=

π

2

R g

，在由A→O的过程中球A的重力势能转化为动能．
（2）欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是

(2n+1)2π2

8

R（n=0，1，2，3，…）．