Question

高等数学:如何将定积分的乘积转换成二重积分?如图

Answer 1

你概念很模糊，我只能告诉你，二重积分化成累次积分，看起来像两个定积分的乘积，其实后面的应该积出来做前面的被积函数。

追问

其实我想问的就是这一点，对于形如两定积分乘积的式子，该如何区分是二重积分还是两定积分相乘

追答

定积分结果是数，如果两个都是数那就基本上是乘积，当然也不排除二重积分里面被积函数是一元或是常数的情形。

一般这种考虑没啥意义，如果是累次，应该一眼能看出。

追问

但很多形如两定积分乘积的式子，该不知道是二重积分按先后积分或两定积分直接相乘

追答

教你个简单办法，总是先积后面的，不管积出来是数还是函数，和前面积分的被积函数乘起来一起充当前面被积函数的一部分。
一定要切记别先积前面的。

追问

追答

只有你才这样写

追问

或者这个

追答

看起来你理解起来是有点困难的，你把第二个积分放到第一个的被积函数那里，由于第一个本来有被积函数f(x)或f(x)g(x),因为第二个积分是关于y的积分和x无关，所以第一个积分原来的被积函数可以当作常数移到第二个积分里面去，然后，就没有然后了。

追问

对于这种情况，如果将f(y)换成f(x,y)呢

追答

都一样。
后面的被积可以含有x，前面的被积不能含有y，

追问

追答

是，因为前面被积f(x)对后面关于y的积分是常数，可以移进移出的

追问

(问完就采纳)但分别算再相乘就不对了吧

追答

说了这么多边了，前面不能先算！前面如果算完了后面算出来是函数怎么办？

你仔细对对书，这种写法只是一个记号，不是相乘，后面积分的结果是前面的被积函数

追问

最后一句，这个可以看成相乘吧:

追答

这可以说相乘，因为后面前面都是数。
反正你以后先看后面就行了

Answer 2

首先，定积分的乘积转化为二重积分没有意义
而是将二重积分转化为二次积分，即两个定积分的乘积

追问

其实我想问的是，对于形如两定积分乘积的式子，该如何区分是二重积分还是两定积分相乘

比如

就不是两定积分直接相乘

追答

这个不需要区分啊
二重积分的话前面肯定会定义一个积分区域D

追问

我的意思是如果没有二重积分符号，只有两定积分乘积的式子时

追答

那我只能说，区分起来没有意义

追问

不区分，怎么知道是直接相乘还是按嵌套的二重积分算呀，比如上式，直接乘的话前面一个定积分等于b-a

追答

你要是这么说，上面这个例子左边假设a和b是已知的数，右边的上下限是φ1(x)和φ2(x),如果是定积分相乘，得出来的是个式子，若是二重积分，得出来是个值

追问

对呀，两种算法不一样啊，直接相乘得到的式子把x看成参数

这两个就是直接相乘

追答

方法就是
两个上下限为已知数的定积分的乘积是一个值，二重积分先是得出关于x或y的式子

追问

对于这三种情况，如果将f(y)换成f(x,y)呢

追答

二重积分下，被积函数只能是f(x,y)整体，假设你这个"f(x,y)=x+y,f(x)=x，那么只能表达为f(x,y)=x/x+y