设集合A={x|x=a+b√2，|a²-2b²|=1,a∈Z,b∈Z}.求证：当x∈A时,1/x∈A
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证明：设x=a+b√2，则1/x=1/(a+b√2)=(a-b√2)/(a^2-2b^2)=a/(a^2-2b^2)+(-b)/(a^2-2b^2)*√2
令c=a/(a^2-2b^2),d=(-b)/(a^2-2b^2)，则在形式上1/x=c+d√2，与x一样。
又|c^2-2d^2|=|a^2/(a^2-2b^2)^2-2b^2/(a^2-2b^2)^2|=1/|a^2-2b^2|
根据题干，|a^2-2b^2|=1，所以|c^2-2d^2|=1/|a^2-2b^2|=1，c∈Z，d∈Z。
故1/x∈A
令c=a/(a^2-2b^2),d=(-b)/(a^2-2b^2)，则在形式上1/x=c+d√2，与x一样。
又|c^2-2d^2|=|a^2/(a^2-2b^2)^2-2b^2/(a^2-2b^2)^2|=1/|a^2-2b^2|
根据题干，|a^2-2b^2|=1，所以|c^2-2d^2|=1/|a^2-2b^2|=1，c∈Z，d∈Z。
故1/x∈A
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