Question

一道初2 的数学题

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，点P是底边AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC的中点，若PM+PN的最小值为2，则等腰三角形ABC的周长是（ D ）
A.2 B.2+根号3
C.4 D.4+2×根号3
答案是D，求过程。
你们怎么知道
∵角ABC=120
∴AC=2√3

Answer 1

作B'点是B点关于边AC的对称点，做得一个菱形ABCB'
取N'为B'C的中点，连接MN'交AC于一点P，
这时P的位置可使PM+PN=PM+PN’为最小值2【两点之间，线段最短】，
即等腰三角形的腰长为2
根据顶角可算出三角形底边为2√3
可算出周长为4+2√3
选D

Answer 2

解：
要使得PM+PN的长度最小，首先要做M关于AC的对称点M'
再连接M'N交AC于点P（这个点P就是这样来的）
之后你就可以得出点P是AC中点（会证吧）
因为ABC是等腰三角形
所以两底角相等
因为PM+PN=2
所以MP=MA=NP=NC=1
所以AB+BC=4
又因为角ABC=120
所以AC=2√3
所以三角形ABC的周长为4+2√3

Answer 3

当P为中点时PM+MN最小=2，所以PM=PN=1，连接MN，易证△BMN≌△PNM，所以BM=BN=1所以AM=NC=1，所以AB=BC=2，连接BP，三线合一，所以BP⊥AC，所以∠ABP=∠CBP=60°所以BP=1/2AB=1，所以AP=CP=√（2²-1²）=√3，所以AC=2√3，所以周长是4+2×根号3
补充回答：因为在Rt三角形中，30°所对的边是斜边的一半

Answer 4

怎样证明p点就是AC的中点呢？？