Question

已知a b x y属与实数，a^2+b^2=3.x^2+y^2=6 求ax+by最大值。答

已知a b x y属与实数，a^2+b^2=3.x^2+y^2=6
求ax+by最大值。答案有没有错误？第二步解释，没看懂。

Answer 1

题中所举的解法不完全正确，
是ay＝bx而不是ax＝by。

a²y²+b²x²≥2abxy→(ay-bx)²≥0.
∴(a²+b²)(x²+y²)-(ax+by)²
＝(a²x²+a²y²+b²x²+b²y²)-(a²x²+2abxy+b²y²)
＝a²y²+b²x²-2abxy
＝(ay-bx)²
≥0
∴ax+by≤√[(a²+b²)(x²+y²)]＝3√2.
取等时，ay＝bx,a²+b²＝3,x²+y²＝6,
∴解得a＝b＝√6/2,x＝y＝√3时，
所求最小值：(ax+by)|min＝3√2.

本题目解法灰常多，再举几个：

(1)依柯西不等式得
(ax+by)²≤(a²+b²)(x²+y²)＝3×6,
→ax+by≤3√2.
取等时，
a:x＝b:y→ay＝bx,且a²+b²＝3,x²+y²＝6.
解得，a＝b＝√6/2，x＝y＝√3.
∴(ax+by)|max＝3√2.

(2)构造向量m＝(a,b),n＝(x,y).
则依向量模不等式|m·n|²≤|m|·|n|得，
(ax+by)²≤√(a²+b²)·√(x²+y²)＝3√2.
依以下描述与柯西不等式法相同。

追问

怎么解出a b x y的值的？

怎么求出的a b x y的值的？