Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．（1）猜一猜，MN与BD的位置关系，并

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．（1）猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的长．

Answer 1

（1）猜想MN⊥BD． 证明：连接BM，DM，∵∠ABC=90°， AM=MC， ∴ BM= 1 2 AC ， 同理 DM= 1 2 AC ， ∴BM=DM， ∵BN=ND， ∴MN⊥BD （2）∵AM=BM， ∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM， 同理∠CMD=2∠CAD， ∴∠BMD=2∠BCD=90°， ∵BM=MD， ∴△BMD是等腰直角三角形（9分）， ∴ MN= 1 2 BD=1 ．