Question

已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于14

已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于14．

Answer 1

证明：假设三式同时大于

1

4

，即(1?a)b＞

1

4

，(1?b)c＞

1

4

，(1?c)a＞

1

4

…2分
三式同向相乘，得(1?a)a(1?b)b(1?c)c＞

1

64

（*）…5分
又(1?a)a≤(

1?a+a

2

)2＝

1

4

，…7分
同理(1?b)b≤

1

4

，(1?c)c≤

1

4

…9分
所以(1?a)a(1?b)b(1?c)c≤

1

64

，…11分
与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确…12分