已知函数f(x)= ,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在
已知函数f(x)=,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围....
已知函数f(x)= ,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间 上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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生日快乐﹌26
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解:当a=1时,f(x)= ,f(2)=3; f′(x)=3x 2 ﹣3x,f′(2)=6. 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y﹣3=6(x﹣2),即y=6x﹣9; (Ⅱ)解:f′(x)=3ax 2 ﹣3x=3x(ax﹣1). 令f′(x)=0,解得x=0或x= . 以下分两种情况讨论: (1)若0<a≤2,则 ; 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表 当 时,f(x)>0, 等价于 即 . 解不等式组得﹣5<a<5.因此0<a≤2; (2)若a>2,则 当x变化时, f′(x),f(x)的变化情况如下表 当 时,f(x)>0 等价于 即 解不等式组得 或 . 因此2<a<5. 综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5 |
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