已知函数f(x)= ,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在

已知函数f(x)=,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.... 已知函数f(x)= ,其中a>0.(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(Ⅱ)若在区间 上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围. 展开
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生日快乐﹌26
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知道答主
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解:当a=1时,f(x)= ,f(2)=3;
f′(x)=3x 2 ﹣3x,f′(2)=6.
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
y﹣3=6(x﹣2),即y=6x﹣9;
(Ⅱ)解:f′(x)=3ax 2 ﹣3x=3x(ax﹣1).
令f′(x)=0,解得x=0或x=
以下分两种情况讨论:
(1)若0<a≤2,则
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表

时,f(x)>0,
等价于
解不等式组得﹣5<a<5.因此0<a≤2;
(2)若a>2,则 当x变化时,
f′(x),f(x)的变化情况如下表
时,f(x)>0
等价于
解不等式组得
因此2<a<5.
综合(1)和(2),可知a的取值范围为0<a<5

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