Question

已知函数f（x）= ，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在

已知函数f（x）= ，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间 上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

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Answer 1

解：当a=1时，f（x）= ，f（2）=3； f′（x）=3x 2 ﹣3x，f′（2）=6． 所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y﹣3=6（x﹣2），即y=6x﹣9； （Ⅱ）解：f′（x）=3ax 2 ﹣3x=3x（ax﹣1）． 令f′（x）=0，解得x=0或x= ． 以下分两种情况讨论： （1）若0＜a≤2，则 ； 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 当 时，f（x）＞0， 等价于 即 ． 解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2； （2）若a＞2，则 当x变化时， f′（x），f（x）的变化情况如下表 当 时，f（x）＞0 等价于 即 解不等式组得 或 ． 因此2＜a＜5． 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5