Question

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于a，D、E分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DE是异面直线AC1

如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于a，D、E分别是AC1、BB1的中点，（1）求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角E-AC1-C的大小；（3）求点C1到平面AEC的距离．

Answer 1

（1）证明：过D在面AC₁内作FG∥A₁C₁分别交AA₁、CC₁于F、G，
则面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG为正三角形，D为FG的中点，ED⊥FG．
连AE，C₁E
∵D、E分别为AC₁、BB₁的中点，
∴AE=EC₁，DE⊥AC₁．
又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE为AC₁和BB₁的公垂线，
∵EC1＝

5

2

a，DC1＝

2

2

a，∴DE=

3

2

a．
（2）由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E-AC₁-C为90°．
（3）设点C₁到平面ACE的距离为h
在△AEC中，AE=CE=

5

2

a，AC=a，∴S△AEC＝

1

2

×a×a＝

1

2

a2
∵VA?CEC1＝

1

3

×

1

2

×a×a×

3

2

a，VA?CEC1＝VC1?AEC
∴