Question

已知函数f（x）=x2+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（an，0），n=1，2，3，…．（1）求数列{an}的

已知函数f（x）=x2+（2-n）x-2n的图象与x轴正半轴的交点为A（an，0），n=1，2，3，…．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝3an+(?1)n?1?λ?2an ( n为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n，都有bn+1＞bn？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设f（x）=0，x²+（2-n）x-2n=0得 x₁=-2，x₂=n．
所以a_n=n（4分）
（2）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1?λ?2ⁿ，若存在λ≠0，满足b_n+1＞b_n恒成立
即：3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ?λ?2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1?λ?2ⁿ，（6分）
(

3

2

)n?1＞(?1)n?1?λ恒成立  （8分）
当n为奇数时，(

3

2

)n?1＞λ?λ＜1（10分）
当n为偶数时，(

3

2

)n?1＞?λ?λ＞?

3

2

（12分）
所以 ?

3

2

＜λ＜1（13分），
故：λ=-1（14分）