Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足（2b-c）cosA=acosC．（1）求A的大小；（2）若a=2，

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足（2b-c）cosA=acosC．（1）求A的大小；（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值，并指出此时△ABC的形状．

Answer 1

∵△ABC中，（2b-c）cosA=acosC．
∴由正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC
化简整理，得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）
∵△ABC中，A+C=π-B，可得sinB=sin（A+C）
∴2sinBcosA=sinB，结合sinB＞0，将两边约去cosB
可得2cosA=1，cosA=

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）∵a=2，A=

π

3

∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

，此时△ABC是等边三角形．