Question

如图所示，P是倾角为30°的光滑固定斜面．劲度系数为k的轻弹簧一端同定在斜面底端的固定挡板C上，另一端

如图所示，P是倾角为30°的光滑固定斜面．劲度系数为k的轻弹簧一端同定在斜面底端的固定挡板C上，另一端与质量为m的物块A相连接．细绳的一端系在物体A上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另一端有一个不计质量的小挂钩．小挂钩不挂任何物体时，物体A处于静止状态，细绳与斜面平行．在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物块B后，物体A沿斜面向h运动．斜面足够长，运动过程中B始终未接触地面．（1）求小挂钩不挂任何物体时弹簧的形变量；（2）求物块A刚开始运动时的加速度大小a；（3）设物块A沿斜面上升通过Q点位置时速度最大，求Q点到出发点的距离x0及最大速度vm：（4）把物块B的质量变为Nm（N＞0.5），小明同学认为，只要N足够大，就可以使物块A沿斜面上滑到Q点时的速度增大到2vm，你认为是否正确？如果正确，请说明理由，如果不正确，请求出A沿斜面上升到Q点位置时的速度的范围．

Answer 1

（1）开始时，对A，由平衡条件得：mgsin30°=kx，
得：x=

mg

2k

，
（2）以A、B组成的系统为研究对象，A刚开始运动的瞬间，
由牛顿第二定律得：mg+kx-mgsin30°=（m+m）a，
代入数据解得：a=0.5g；
（3）当A受到的合力为零时速度最大，此时：
mgsin30°+kx′=mg，
解得：x=x′=

mg

2k

，
Q点到出发点的距离：x₀=2x=

mg

k

；
在出发点与Q弹簧的形变量相同，弹簧的弹性势能相等，
由机械能守恒定律得：mgx₀=mgx₀sin30°+

1

2

?2mv²，
解得，最大速度：v_m=g

m 2k

；
（4）B的质量变为nm时，由机械能守恒定律得：
nmgx₀=mgx₀sin30°+

1

2

?（nm+m）v²，
解得：v=g

m(2n?1) k(n+1)

，
n→∞时，v=g

2m k

=2v_m，
由于n不会达到无穷大，因此速度不会达到2v_m，
小明的说法是错误的，速度范围是：0＜v＜g

2m k

；
答：（1）小挂钩不挂任何物体时弹簧的形变量

mg

2k

；
（2）物块A刚开始运动时的加速度大小是0.5g；
（3）Q点到出发点的距离是

mg

k

，最大速度是g

m 2k

；
（4）小明的说法是错误的，A沿斜面上升到Q点位置时的速度的范围为0＜v＜g

2m k

．