具体回答如下：
扩展资料：
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。
（sin^4-sin^6)dt的不定积分是x/16－（1/64）cos4x－（1/48）（sin2x）^3＋C。
解：
∫［（sinx）^4－（sinx）^6］dt
＝∫（sinx）^4［1－（sinx）^2］dt
＝∫（sinx）^4（cosx）^2dt
＝（1/4）∫（2sinxcosx）^2（sinx）^2dt
＝（1/8）∫（sin2x）^2［2（sinx）^2］dt
＝（1/8）∫（sin2x）^2（1－cos2x）dt
＝（1/8）∫（sin2x）^2dx－（1/8）∫（sin2x）^2cos2xdt
＝（1/16）∫（1－cos4x）dx－（1/16）∫（sin2x）^2cos2xd（2x）
＝（1/16）∫dx－（1/16）∫cos4xdt－（1/16）∫（sin2x）^2d（sin2x）
＝x/16－（1/64）∫cos4xd（4t）－（1/48）（sin2x）^3
＝x/16－（1/64）cos4x－（1/48）（sin2x）^3＋C
所以（sin^4-sin^6)dt的不定积分是x/16－（1/64）cos4x－（1/48）（sin2x）^3＋C。
扩展资料：
1、分部积分法的形式
（1）通过对u(x)求微分后使其类型与v(x)的类型相同或相近。
例：∫xarctanxdx=∫arctanxd(1/2x^2)
=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2darctanx=1/2x^2*arctanx-1/2∫x^2/(1+x^2)dx
（2）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。
例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx
（3）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。
例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx
=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx
=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx
则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得
∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C
如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)（或 f(x) dx）在区间 I 内的一个原函数。
原函数存在定理：
如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).
简单地说：
连续函数一定有原函数。
不定积分的定义：
在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作 ∫ f(x)dx . 其中 记号 ∫ 称为 积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
二、基本积分公式
三、不定积分的性质
设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)] dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则
∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx
记：非零常数 乘以积分，可以把常数拿到外面乘不定积分。
四、第一类换元积分法
设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：
也叫做 凑微分法
五、第二类换元积分法
设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且 ψ'(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式
是x=ψ(x)的反函数。
三种常见的换元公式（注：利用三角形理解去记）
利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：
六、分部积分法
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v
对这个等式两边求积分
∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式
分部积分法的积分顺序：反对幂指三，其含义是 从后面考虑容易积分的，先对那个积分。积分顺序 ：先， 三角函数 再， 指数函数 其次 ， 幂函数 再次 ，对数函数，最后才是反三角函数。
七、有理函数的积分
1.复合函数积分利用换元法： ∫ f[ g(x) ]dx, 令t=g(x) ,解出 x= u(t) ，t=g(x) 和x= u(t) 互为反函数，dx=u(t)dt 则∫f(t) du(t).
2.有理函数的积分
两个多项式的商 P(x) / Q(x) 称为有理函数，又称为有理分式。
当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式的次数时，称这有理函数为真分式。
当分子多项式P(x)的次数大于分母多项式的次数时，称这有理函数为假分式。
如果 分母Q(x)可以分解为两个多项式的乘积。
Q(x)=Q(x1)Q(x2) 且Q(x1)、Q(x2)没有公因式，可以拆分成两个真分式之和
P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x) + P2(x)/Q2(x)。
例如：设有两个个因子 A，B满足
通过次幂的系数相等，有
A+B=1, -(2A+3B)=1,
解得
A=4, B=-3
3.可化为有理函数的积分（复杂的有理式）
利用换元积分法积分，令一个量等于复杂的式子，解出反函数式子来求积分。
倍角公式降次
过程如下图：
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