Question

已知⊙C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（

已知⊙C：x 2 +（y-1） 2 =5，直线l：mx-y+1-m=0（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）求弦AB中点M轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？（3）若定点P（1，1）分弦AB为 PB =2 AP ，求l方程．

Answer 1

（1）圆心C（0，1），半径r= 5 ，则圆心到直线L的距离d= |-m| 1+ m 2 ＜1 ， ∴d＜r，∴对m∈R直线L与圆C总头两个不同的交点；（或用直线恒过一个定点，且这个定点在圆内）（4分） （2）设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1） 斜率存在时则 k AB = y-1 x-1 ，又 k MC = y-1 x ，k AB ?K NC =-1， ∴ y-1 x-1 ? y-1 x =-1 ，整理得；x 2 +y 2 -x-2y+1=0， 即： (x- 1 2 ) 2 +(y- 1   ) 2 = 1 4 ，表示圆心坐标是（ 1 2 ，1 ），半径是 1 2 的圆； 斜率不存在时，也满足题意， 所以： (x- 1 2 ) 2 +(y- 1   ) 2 = 1 4 ，表示圆心坐标是（ 1 2 ，1 ），半径是 1 2 的圆．（4分） （3）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）解方程组 mx-y+1-m=0 (y-1) 2 + x 2 =5 得（1+m 2 ）x 2 -2m 2 x+m 2 -5=0， ∴ x 1 + x 2 = 2 m 2 1+ m 2 ，① 又 PB =2 AP ∴（x 2 -1，y 2 -1）=2（1-x 1 ，1-y 1 ）， 即：2x 1 +x 2 =3② 联立①②解得 x 1 = 3+ m 2 1+ m 2 ，则 y 1 = (m+1) 2 1+ m 2 ，即A（ 3+ m 3 1+ m 2 ， (m+1) 2 1+ m 2 ） 将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1， ∴直线方程为x-y=0和x+y-2=0