Question

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．（1）如图①，当PD⊥AC时，则DC+CE的值是______．（2）如图②，当PD与AC不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，在∠DPE内作∠MPN=45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）DC+CE=2；      
（2）结论成立．连接PC，如图②．   
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°，∠CPB=90°．   
∴∠BPE=90°-∠CPE．
又∵∠DPC=90°-∠CPE，
∴∠DPC=∠EPB．        
∴△PCD≌△PBE．
∴DC=EB，
∴DC+CE=EB+CE=BC=2．     
（3）△CMN的周长为定值，且周长为2．      
在EB上截取EF=DM，如图③，
由（2）可知：PD=PE，∠PDC=∠PEB，
∴△PDM≌△PEF，
∴∠DPM=∠EPF，PM=PF．
∵∠NPF=∠NPE+∠EPF=∠NPE+∠DPM
=∠DPE-∠MPN
=45°=∠NPM．
∴△PMN≌△PFN，
∴MN=NF．       
∴MC+CN+NM=MC+CN+NE+EF，
=MC+CE+DM，
=DC+CE，
=2．
∴△CMN的周长是2．