如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（I）证明：DE∥底面ABC（II）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（I）证明：DE∥底面ABC（II）设二面角A-BC-D为60°；求BD与...
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分别为AA1、B1C的中点．（I）证明：DE∥底面ABC（II）设二面角A-BC-D为60°；求BD与平面BCC1B1所成的角的正弦值．
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（I）证：取BC的中点F，连接EF，DF，BE，∵AB=AC，∴AF⊥BC，
因为E为B1C的中点
∴EF∥BB1，FE=
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∴EF=DA，EF∥DA
∴AFED为平行四边形，
∴DE∥AF，
∴DE∥平面ABC．
（II）解：∵AF⊥BC，AF⊥BB1，
∴AF⊥平面BCC1B1，
∵DE∥AF?DE⊥平面BCC1B1
∴∠DBE即为BD与平面BCC1B1所成的角．
∵二面角A-BC-D为60°；
而DA⊥平面ABC，AF⊥BC；
∴∠DAF即为二面角A-BC-D的平面角，
所以∠DAF=60°，tan∠DFA=
| DA |
| AF |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴BD=
| DE 2+AB 2 |
(
|
| ||
| 2 |
∴sin∠DBE=
| DE |
| BD |
| AF |
| BD |
|
