Question

已知f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R）（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值为23，最小值为?12，求证

已知f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c∈R）（1）若a+c=0，f（x）在[-2，2]上的最大值为23，最小值为?12，求证：|ba|≤2（2）当b＝4，c＝34时，对于给定的负数a，有一个最大的正数m（a），使得x∈[0，m（a）]时都有|f（x）|≤5，问a为何值时，m（a）最大，并求这个最大值m（a），证明你的结论．（3）若f（x）同时满足下列条件：①a＞0；②当|x|≤2时，有|f（x）|≤2；③当|x|≤1时，f（x）最大值为2，求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）若a=0，则c=0，f（x）=2bx，f（2）=4b，f（-2）=-4b，不合题意；
若a≠0时，由a+c=0，得f（x）=ax²+2bx-4a，
对称轴为x=-

b

a

，假设

b

a

∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
区间[-2，2]在对称轴的左外侧或右外侧，所以f（x）在[-2，2]上是单调函数，
则f（x）的最并闭值必在x=2，x=-2处取到，
f（2）=4b，f（-2）=-4b，f（2）+f（-2）=0≠

2

3

+（-

1

2

）=

1

6

，
所以假设错误，则|

b

a

|≤2，
综上，得到|

b

a

|≤2；
（2）

把b=4，c=

3

4

代入得：f（x）=ax²+8x+3=a(x+

4

a

)2+3-

16

a

，
∵a＜0，所以f（x）液蔽_max=3-

16

a

①当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，
M（a）满足：-8＜a＜0且0＜M（a）＜-

4

a

，
所以M（a）是方闹蔽州程ax²+8x+3=5的较小根，
则M（a）=

?8+ 64?32a

2a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

；
②当3-

16

a

≤5即a≤-8时，此时M（a）≥-

4

a

，
所以M（a）是ax²+8x+3=-5的较大根，
则M（a）=

?8? 64?32a

2a

=

4

4?2a ?2

≤

4

20 ?2

=

5 +1

2

，
当且经当a=-8时取等号，
由于

5 +1

2

＞

1

2

，因此当且经当a=-8时，M（a）取最大值

5 +1

2

；
（3）求得f′（x）=2ax+2b，
∵a＞0，∴f（x）_max=2a+2b=2，即a+b=1，
则-2≤f（0）=4a=4a+4b+4c-4（a+b）=f（2）-4≤2-4=-2，
∴4c=-2，解得c=-

1

2

，
又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥-2=f（0）
∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（-2，2），
∴-

2b

2a

=0，解得b=0，从而a=1，
∴f（x）=x²-2．