Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）求

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．（Ⅰ）求证：AE⊥PC；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

解答：（本小题12分）
（Ⅰ）证明：∵AP=AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，
VP?ABD＝VA?PBD?

1

3

S△ABD?PA＝

1

3

S△PBD?d?d＝

3

3

，
∴点A到平面PBD的距离为

3

3

．…（12分）