Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若1和2是函数h（x）的两

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2-bx（a，b∈R），令h（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）若1和2是函数h（x）的两个极值点，求a，b的值；（Ⅱ）当a＝12，b≥2时，若对任意两个不相等的实数x1，x2∈[1，2]，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的值．

Answer 1

（Ⅰ）h（x）=lnx+ax²-bx，h′（x）=

1

x

+2ax-b，
因为1和2为函数h（x）的两极值点，
所以有

2a?b+1＝0 4a?b+ 1 2 ＝0

，解得

a＝ 1 4 b＝ 3 2

，经检验满足条件，
所以a=

1

4

，b＝

3

2

；
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂，因为f（x）=lnx在[1，2]上单调递增，
所以|f（x₁）-f（x₂）|=f（x₁）-f（x₂），
又g（x）=

1

2

x²-bx=

1

2

（x-b）²-

b2

2

，且b≥2，则g（x）在[1，2]上单调递减，
所以|g（x₁）-g（x₂）|=g（x₂）-g（x₁），
所以|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|?f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁），
即f（x₁）+g（x₁）＞f（x₂）+g（x₂），
h（x）在[1，2]上单调递增，则h′（x）=

1

x

+x-b≥0成立，得b≤(

1

x

+x)min=2，
又b≥2，所以b=2．