Question

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）证明△ABG≌△AFG；（2）求BG的长；（3）求△FGC的面积．

Answer 1

（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°， ∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°， 又∵AG=AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∵ AG=AG AB=AF ， ∴△ABG≌△AFG（HL）； （2）∵CD=3DE ∴DE=2，CE=4， 设BG=x，则CG=6-x，GE=x+2 ∵GE 2 =CG 2 +CE 2 ∴（x+2） 2 =（6-x） 2 +4 2 ， 解得x=3 ∴BG=3； （3）过C作CM⊥GF于M， ∵BG=GF=3， ∴CG=3，EC=6-2=4， ∴GE= 3 2 + 4 2 =5， CM?GE=GC?EC， ∴CM×5=3×4， ∴CM=2.4， ∴ S △FGC = 1 2 GF×CM=3.6 ．