Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（10

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A、点C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（10，4）．若点D为OA的中点，点P为边BC上的一动点，则△OPD为等腰三角形时的点P的坐标为______．

Answer 1

∵B的坐标是（10，4），四边形OCBA是矩形， ∴OC=AB=4， ∵D为OA中点， ∴OD=AD=5， ∵P在BC上， ∴P点的纵坐标是4， ① 以O为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P，此时OP=OD=5，由勾股定理求出CP= 5 2 - 4 2 =3，即P的坐标是（3，4）； ② 以D为圆心，以OD为半径作弧，交BC于P、P′，此时DP=OD=DP′=5， 由勾股定理求出DM=DN= 5 2 - 4 2 =3，即P的坐标是（2，4），P′的坐标是（8，4）； ③作OD的垂直平分线交BC于P，此时OP=DP， P的坐标是（ 5 2 ，4）； 故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）或（ 5 2 ，4）．