Question

如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC ∥ OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．（1）求

如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC ∥ OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．（1）求证：△COE ∽ △ABC；（2）若AB=2，AD= 3 ，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA=90°， 又∵BC ∥ OD， ∴OE⊥AC， 即：∠OEC=∠BCA=90°．（2分） 又∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCE，（3分） ∴△COE ∽ △ABC；（4分） （2）过点B作BF⊥OC，垂足为F． ∵AD与⊙O相切， ∴∠OAD=90°， 在Rt△OAD中， ∵OA=1，AD= 3 ， ∴tan∠D= 3 3 ， ∴∠D=30°，（5分） 又∵∠BAC+∠EAD=∠D+∠EAD=90°， ∴∠BAC=∠D=30°， ∠BOC=60°，（6分） ∴S △OBC = 1 2 ?OC?BF= 1 2 ×1×1×sin60°= 3 4 ，（7分） ∴S 阴 =S 扇OCB -S △OBC = 60π× 1 2 360 - 3 4 = π 6 - 3 4 ．（8分）