Question

（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①?，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC

（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图①?，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图②?，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．（3）如图③?，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出DECF的值（用α的三角函数表示）．

Answer 1

解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△COM中

∠OBN＝∠OCM OB＝OC ∠BON＝∠COM

，
∴△BON≌△COM（ASA），
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB，BC=

2

BO，
∴BD=

2

AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′=

2

BO′，
∴

BD

BA

=

BC′

BO′

=

2

，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45