Question

f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0）（1）求f（x）的定义域；（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，+∞）时

f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0）（1）求f（x）的定义域；（2）问是否存在实数a、b，当x∈（1，+∞）时，f（x）的值域为（0，+∞），且 f（2）=lg2？若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由a^x-b^x＞0，（a＞1＞b＞0）得 (

a

b

)x＞1，∴x＞0．
∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）令g（x）=a^x-b^x，又 a＞1＞b＞0，∴g（x）在 （0，+∞）上为增函数．
当x∈（1，+∞）时，f（x）的值取到一切正数等价于x∈（1，+∞）时，g（x）＞1，
∴g（1）=1，可得a-b=1 ①，又f（2）=lg2，故 a²-b²=2 ②，
由①②得 a=

3

2

，b=

1

2

．