Question

观察下列各式：（a-1）（a+1）=a2-1（a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1（a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a

观察下列各式：（a-1）（a+1）=a2-1（a-1）（a2+a+1）=a3+a2+a-a2-a-1=a3-1（a-1）（a3+a2+a+1）=a4+a3+a2+a-a3-a2-a-1=a4-1根据观察的规律，解答下列问题：（1）填空：①（a-1）（______）=a6-1；②（a-1）（a11+a10+…+a+1）=______；③（a-1）（an+an-1+an-2+…+a+1）=______．（2）已知：1+22+24+26+…+22006+22008+22010＝13×41006?13求：2+23+25+27+…+22007+22009的值．

Answer 1

（1）∵a-1）（a+1）=a²-1，
（a-1）（a²+a+1）=a³+a²+a-a²-a-1=a³-1，
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴+a³+a²+a-a³-a²-a-1=a⁴-1，
∴①a⁵+a⁴+a³+a²+a+1；
②a¹²-1；
③aⁿ⁺¹-1；
（2）解：因为（2-1）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰）=2²⁰¹¹-1，
即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2²⁰¹¹-1．
而1+22+24+26++22006+22008+22010＝

1

3

×41006?

1

3

，
所以2+23+25+27++22007+22009＝21011?1?(

1

3

×41006?

1

3

)
=22011?

1

3

×41006?

2

3

＝

2

3

×41005?

2

3

．
故答案为：a⁵+a⁴+a³+a²+a+1，a¹²-1，aⁿ⁺¹-1．