Question

利用三角形内角和，探究四边形内角和：如图，∠A、∠B、∠C、∠D是四边形的四个内角，连接AC，因为______

利用三角形内角和，探究四边形内角和：如图，∠A、∠B、∠C、∠D是四边形的四个内角，连接AC，因为______，所以______，即四边形内角和为______．利用上述结论解题：四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．





Answer 1

探究：∵△ABC与△ACD的内角和都是180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
即四边形内角和为360°；

（1）∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴140°+80°+2∠C=360°，
解得∠C=70°；

（2）∵∠A=140°，∠D=80°，BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∠BED=180°-∠D=180°-80°=100°，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
在△BEC中，∠C=∠BED-∠EBC=100°-40°=60°；

（3）∵∠A=140°，∠D=80°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-（140°+80°）=140°，
∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=

1

2

×140°=70°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-70°=110°．