Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且-1，Sn，an+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{an

已知数列{an}的前n项和为Sn，且-1，Sn，an+1成等差数列，n∈N*，a1=1．函数f（x）=log3x．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足bn=1(n+3)[f(an)+2]，记数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与512-2n+5312的大小．

Answer 1

（I）∵-1，S_n，a_n+1成等差数列，
∴2S_n=a_n+1-1①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1②．
①-②得：2a_n=a_n+1-a_n，
∴

an+1

an

=3．
当n=1时，由①得2S₁=2a₁=a₂-1，又a₁=1，
∴a₂=3，故

a2

a1

=3．
∴{a_n}是以1为首项3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1…（7分）
（II）∵f（x）=log₃^x，
∴f（a_n）=log₃a_n=log33n?1=n-1，
b_n=

1

(n+3)[f(an)+2]

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

（

1

n+1

-

1

n+3

），
∴T_n=

1

2

[（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n+1

-

1

n+3

）]
=

1

2

（

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

）
=

5

12

-

2n+5

2(n+2)(n+3)

…（9分）
比较T_n与

5

12

-

2n+5

312

的大小，只需比较2（n+2）（n+3）与312 的大小即可．…（10分）
2（n+2）（n+3）-312=2（n²+5n+6-156）=2（n²+5n-150）=2（n+15）（n-10），
∵n∈N^*，
∴当1≤n≤9时，2（n+2）（n+3）＜312，即T_n＜

5

12

-

2n+5

312

；
当n=10时，2（n+2）（n+3）=312，即T_n=

5

12

-

2n+5

312

；
当n＞10且n∈N^*时，2（n+2）（n+3）＞312，即T_n＞

5

12

-

2n+5

312

．…（14分）