Question

计算∫(上限+∞下限0)xe^(-x)/(1+e^(-x))^2

其中过程是
∫xe^(-x)dx/(1+e^(-x))^2
=∫xe^xdx/(1+e^x)^2
=∫xde^x/(1+e^x)^2
=∫xd(-1/(1+e^x))
=-x/(1+e^x)+∫dx/(1+e^x)
=-x/(1+e^x)+∫e^(-x)dx/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-∫d(1+e^(-x))/(1+e^(-x))
=-x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|+C
lim(x→+∞) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=0
lim(x→0) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=-ln2
∫[0,+∞] xe^(-x)/(1+e^(-x))^2=0-(- ln2)=ln2
为什么第一个等号中把-x替换成x时积分上下限没有改变呢

Answer 1

∫xe^(-x)dx/(1+e^(-x))^2

=∫xde^x/(1+e^x)^2

=∫xd(-1/(1+e^x))

=-x/(1+e^x)+∫e^(-x)dx/(1+e^(-x))

=-x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|+C

lim(x→+∞) -x/(1+e^x)-ln|1+e^(-x)|=0

∫[0,+∞] xe^(-x)/(1+e^(-x))^2=0-(- ln2)=ln2

应用

限制存在许多变体，例如可限制谓词元组而且允许某些谓词合函数变化，它们具有不同的表达能力，一般地，限制具有可靠性定理，但没有一般的完全性成果。

由于限制是二阶形式，计算上比较困难，这也是非单调逻辑的共性问题，由于限制是一阶逻辑的直接扩充，具有一阶逻辑于极小模型的良好性质，因此限制是非单调逻辑中的代表作，对它已有充分的研究和广泛的应用。

Answer 2

不用，那不是用换元法，只是分子和分母同乘e^(2x)而已

答案在图片上，点击可放大。
不懂请追问，满意请及时采纳，谢谢☆⌒_⌒☆

Answer 3

令a=1就行，答案是In2

Answer 4

引用fin3574的回答：
不用，那不是用换元法，只是分子和分母同乘e^(2x)而已

答案在图片上，点击可放大。不懂请追问，满意请及时采纳，谢谢☆⌒_⌒☆

请问第五行到第六行怎么来的啊？没看懂，谢谢您