Question

若a,b是正实数，且a+b=1,求证（1+1/a）（1+1/b）大于等于9

若a,b是正实数，且a+b=1,求证（1+1/a）（1+1/b）大于等于9给出详细的证明。

Answer 1

化简下（1+1/a）（1+1/b）=1+1/a+1/b+1/ab=1+(a+b+1)/ab=1+2/ab我们知道a+b=1(a+b)^2=1=a^2+b^2+2ab=1我们知道a^2+b^2>=2ab(因为(a-b)^2>=0 a^2+b^2-2ab>=0)所以4ab>=1 1/ab<=1/4所以就可以知道（1+1/a）（1+1/b）大于等于9

Answer 2

要证明(1+1/a）（1+1/b）≥9 即要证明：1+1/a+1/b+1/ab≥9 即1/a+1/b+1/ab≥8 通分得到：(a+b+1)/ab≥8 把a+b=1代入得到：要证明 ab≤1/4根据均值定理：a+b≥2根号下ab ∴ab≤1/4 得证

Answer 3

公式 √ab≤(a+b)/2 即 ab≤[(a+b)/2]^2=1/4 （1+1/a）（1+1/b）-9 =(a+1)(b+1)/ab-9 =2/ab-8≥0即（1+1/a）（1+1/b）≥9