Question

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN

如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC= 1，AB=CD=S，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK. (1)若∠1=70°，求∠MKN的度数.(2)△MNK 的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由.(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值.

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Answer 1

解：∵ABCD是矩形，     ∴AM// DN ∴∠KNM=∠1.     ∵∠CMN=∠1 ∴∠XNM=∠KMN.      ∵∠1 =70°，     ∴∠XNM=∠ KMN= 70°.     ∴∠MKN= 40°  (2)不能，过M点作ME⊥DN，垂足为点E，则ME=AD=1     由(1)知∠KNM=∠XMN.      ∴MK= NK   又MK≥ME ∴NK≥1. ∴S △AMK = NK·ME≥ ∴△MNK 的面积最小值为 ，不可能小于      (3)分两种情况：     情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合.     设MK= MD=x，则AM=5-x 由勾股定理得：1 2 + (5-x) 2 =x 2 ，     解得，x=2.6  即MD= ND= 2.6. ∴S △MNK = S △ACK = ×1×2.6 =1.3      情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为 AC. 设MK=AX= CK=x 则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6. ∴S △MNK = S △ACK = ×1×2.6 =1.3 ∴△MNK的面积最大值为1.3.