Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax 2 +bx+c经过点A、B，最低点为M，且S △AMB ＝ . （1）求此抛物线的解析式，并说明这条抛物线是由抛物线y=ax 2 怎样平移得到的； （2）如果点P由点A开始沿着射线AB以2cm/s的速度移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束；①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值；②当PQ取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形? 如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由.

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Answer 1

（1）抛物线的解析式为 是由抛物线 向右1个单位长度，向下 个单位长度得到的；（2）① ；②R（ ，- ）

试题分析：（1）由题意可得抛物线的对称轴为 ，再根据△AMB的面积即可求得抛物线顶点的纵坐标，再设出顶点式，最后把A点的只能代入即可得到结果； （2）①先求出 关于时间t的函数关系式，根据二次函数的性质即可求得结果；②分AB∥QR与BR∥PQ两种情况，根据梯形的性质分析即可. （1）由题意得抛物线的对称轴为 ， 则抛物线顶点的纵坐标为 ∴设抛物线解析式为 ∵图象过点A（0，-2） ∴ ， ∴抛物线的解析式为 这条抛物线是由抛物线 向右1个单位长度，向下 个单位长度得到的； （2）①PQ 2 =（2-2t） 2 +t 2 =5(t- ) 2 + 存在，当t= 时，最小值 ； ②1 0 当AB∥QR时 y=- 时， (x-1) 2 - =- x 1 = 或x 2 = 当x 1 = 时，说明P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形 当x 2 = 时，PBRQ为平行四边形，舍 2 0 当BR∥PQ时，与x 2 = 的情况相同，故此时不存在梯形 ∴R（ ，- ）. 点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要学生熟练掌握二次函数的性质的应用.